आव्यूह/परिचय

आव्यूह(Matrix) संख्याओं की एक आयताकार सरणी (व्यूह) है। उदाहरण के तौर पर एक आव्यूह में संख्याओं को पंक्तियों(Rows) और स्तंभों(Columns) के रूप में लिखने का विशिष्ट तरीका है:

${\begin{pmatrix}1&5&10&20\\1&-3&-5&9\\3&-1&-1&-1\\3&2&4&-5\end{pmatrix}}$

उपरोक्त आव्यूह में ४ पंक्ति और ४ स्तंभ हैं। इसलिए इसे ४ × ४ का आव्यूह कहा जाएगा। आव्यूह अलग-अलग आकृतियों के भी हो सकते हैं। आव्यूह का आकार आव्यूह के आयामों के नाम होते हैं। उदाहरण के लिए m × n आव्यूह में पंक्तियों की संख्या m होगी और स्तंभों की संख्या n होगी।

५ × ४ आव्यूह का उदाहरण:

${\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\i&j&k&l\\m&n&o&p\\q&r&s&t\\\end{pmatrix}}$

१ × ६ आव्यूह का उदाहरण जिसे पंक्ति आव्यूह भी कहते हैं।

${\begin{pmatrix}a&b&c&d&e&f\\\end{pmatrix}}$

स्तंभ आव्यूह ५ × १ का उदाहरण:

${\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\\e\\\end{pmatrix}}$

आव्यूह के तत्व

आव्यूह का तत्व आव्यूह के अंदर कि संख्या है। यह संख्या विशिष्ट रूप से संख्याओं की एक जोड़ी के रूप में स्थित होती है। उदाहरण के लिए निम्नलिखित आव्यूह जिसे A चिन्ह के रूप में लक्षित(Denote) किया गया है। यहां पर a, b, c, d, e, f, g, h तथा i आव्यूह A के तत्व हैं।

$A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{pmatrix}}$

आव्यूह A की (2,2)वीं प्रविष्टि(Entry) e है तथा (3,2)वीं प्रविष्टि h है। आव्यूह A की (i, j) वीं प्रविष्टि को a_i,j के रूप में लक्षित किया जाता है।

आव्यूह के जोड़

एक ही आकार के किन्ही भी 2 या 2 से अधिक आव्यूहों को एक साथ जोड़ा जा सकता है।

उदाहरण:

$A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}$

$B={\begin{pmatrix}2&9&8\\0&-1&8\\4&-6&7\\\end{pmatrix}}$

then

$A+B={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&9&8\\0&-1&8\\4&-6&7\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+2&2+9&3+8\\4+0&5+(-1)&6+8\\7+4&8+(-6)&9+7\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&11&11\\4&4&14\\11&2&16\\\end{pmatrix}}$

आव्यूह का एक अदिश से गुणा

आव्यूह का किसी भी संख्या से गुणा किया जा सकता है। हम संख्या को मैट्रिक्स से अलग करने के लिए अदिश(Scalar) कहते हैं। उपरोक्त उदाहरण A में 5 का गुणा करने पर हमें 5A प्राप्त होता है।

$5A=A+A+A+A+A=5{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&10&15\\20&25&30\\35&40&45\\\end{pmatrix}}$

यहां पर अदिश राशि का मान 5 है। सामान्य तौर पर, जब हम s × A लिखते हैं, तो s एक अदिश राशि होती है और A एक आव्यूह होता है, तो हम A की प्रत्येक प्रविष्टि को s से गुणा करते हैं।